Back

ⓘ مسئله دو جسم



مسئله دو جسم
                                     

ⓘ مسئله دو جسم

مسئله دو جسم یا مسئله دو جرم در مکانیک کلاسیک، در مورد تعیین حرکت دو جسم ذره نقطه‌ای است که تنها با یکدیگر تعامل و فعل‌وانفعال دارند. مثال‌های متداول، شامل حرکت یک ماهواره به دور یک سیاره، حرکت یک سیاره به دور یک ستاره، حرکت دو ستاره به دور یکدیگر و بررسی کلاسیک حرکت الکترون به دور هسته اتم است.

کاربرد اصلی مسئله دو جسم کلاسیک، مورد گرانشی آن است که در اخترشناسی برای پیش‌بینی مدارها یا گریز از مدار اشیائی مانند ماهواره‌ها، سیاره‌ها و ستارگان به‌وجود می‌آید. مدل‌سازی مسئله دو جسم می‌تواند در بیشتر چنین مواردی زمینه را برای رعایت پیش‌بینی‌های مفید فراهم سازد.

مسئلهٔ دو جسم می‌تواند با فرمول‌بندی مجدد، به دو مسئله تک‌جسم مستقل تبدیل شده و حل شود. برخلاف این موضوع، مسئله سه جسم و در حالت کلی‌تر، مسئله n جسم برای n ≥ ۳ جز در موارد استثنای محدود، قابل تفکیک و حل صریح نیست.

                                     

1. ساده‌شدن به دو مسئله تک جسم مستقل

اگر x 1 {\displaystyle x_{1}} و x 2 {\displaystyle x_{2}} مکان دو جسم و m 1 {\displaystyle m_{1}} و m 2 {\displaystyle m_{2}} جرم آنها باشد، هدف مسئله دو جسم تعیین مسیر x 1 t {\displaystyle x_{1}t} و x 2 t {\displaystyle x_{2}t} با داشتن مکان اولیه x 1 t = 0 {\displaystyle x_{1}t=0} و x 2 t = 0 {\displaystyle x_{2}t=0} و سرعت اولیه v 1 t = 0 {\displaystyle v_{1}t=0} و v 2 t = 0 {\displaystyle v_{2}t=0} است.

با اعمال قانون دوم نیوتن برای این دو جسم، روابط زیر بدست می‌آید:

که F 12 {\displaystyle F_{12}} نیروی واردشده از طرف جسم ۲ به جسم ۱ و F 21 {\displaystyle F_{21}} نیروی واردشده از طرف جسم ۱ به جسم ۲ است. اضافه‌کردن و کم‌کردن این دو رابطه از یکدیگر، مسئله را به دو مسئلهٔ تک جسم تبدیل می‌کند. اضافه‌کردن این دو رابطه، منجر به رابطه‌ای می‌شود که حرکت مرکز جرم مرکز سنگینی سراسری را تعیین می‌کند. در مقابل، کم‌کردن رابطهٔ ۲ از رابطهٔ ۱، منجر به رابطه‌ای می‌شود که نشان می‌دهد بردار r = x 1 − x 2 {\displaystyle r=x_{1}-x_{2}} بین دو جسم، چگونه با زمان تغییر می‌کند.

                                     

1.1. ساده‌شدن به دو مسئله تک جسم مستقل حرکت مرکز جرم مسئلهٔ تک‌جسم نخست

اضافه‌کردن دو رابطه ۱ و ۲ و استفاده از قانون سوم نیوتن F 12 = − F 21 {\displaystyle F_{12}=-F_{21}} نتیجه می‌دهد:

که R {\displaystyle R} بردار مکان مرکز جرم سامانه دو جرم بوده و از رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

بنابراین رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

که نشان می‌دهد که سرعت مرکز جرم و در نتیجه تکانه کل ثابت می‌ماند قانون پایستگی تکانه. بنابراین با داشتن مکان‌ها و سرعت‌های اولیه، مکان مرکز جرم R t {\displaystyle Rt}) را می‌توان در هر لحظه تعیین کرد.

                                     

1.2. ساده‌شدن به دو مسئله تک جسم مستقل حرکت بردار جابجایی مسئلهٔ تک‌جسم دوم

با تقسیم هر رابطه بر جرم متناظر و کم‌کردن رابطهٔ دوم از اول، رابطهٔ زیر بدست می‌آید:

که r {\displaystyle r} بردار جابجایی از جرم ۲ به جرم ۱ است. نیروی بین دو جسم باید تنها تابع مکان نسبی آنها r {\displaystyle r} بوده و نمی‌تواند تابع مکان مطلق آنها x 1 {\displaystyle x_{1}} و x 2 {\displaystyle x_{2}} باشد؛ زیرا در غیر این صورت، قوانین فیزیک از مکانی به مکان دیگر تغییر می‌کرد.

این رابطه می‌تواند به صورت زیر بازنویسی شود:

که μ {\displaystyle \mu } جرم کاهش‌یافته نامیده می‌شود:

با توجه به تعریف R {\displaystyle R} و r {\displaystyle r} ، روابط زیر را می‌توان برای بردار مکان دو جسم نوشت:

Free and no ads
no need to download or install

Pino - logical board game which is based on tactics and strategy. In general this is a remix of chess, checkers and corners. The game develops imagination, concentration, teaches how to solve tasks, plan their own actions and of course to think logically. It does not matter how much pieces you have, the main thing is how they are placement!

online intellectual game →